et donc
f
(x) − 3 f
(x) + 2 f (x) = (6ax − 5a + 6b)e
−x
.
Par conséquent, la fonction f est solution si, et seulement si, on a
6ax − 5a + 6b = 6x − 5.
Cette dernière égalité est vérifiée lorsque a = 1 et b = 0.
On en déduit que la fonction
x ∈ R → xe
−x
est une solution particulière de l’équation avec second membre.
• Finalement, l’ensemble des solutions à valeurs réelles de l’équation est
{x ∈ R → xe
−x
+ Ae
x
+ Be
2x
| A,B ∈ R}.
Exercice 3.4 : Équation du second ordre : second membre trigonométrique
Déterminer l’ensemble des solutions à valeurs réelles de l’équation différentielle
y
− 4y
+ 13y = (12x + 8)cos(x) + (4x + 2)sin(x).
Dans cet exercice nous verrons les deux manières d’aborder les équations différentielles du second ordre : soit en effectuant les calculs dans C pour revenir aux réels
à la fin, soit en calculant directement dans R.
L’approche avec les complexes peut paraître moins naturelle mais elle est beaucoup
plus souple au niveau des calculs ; elle sera très souvent utilisée en Physique.
• Cherchons, tout d’abord, les solutions de l’équation homogène associée
y
− 4y
+ 13y = 0.
Son équation caractéristique est r 2 − 4r + 13 = 0, dont les racines complexes sont
2 + 3i et 2 − 3i.
On en déduit, d’après les formules du cours, que l’ensemble des solutions à valeurs
complexes de l’équation homogène est
{x ∈ R → Ae
(2+3i)x
+ Be
(2−3i)x
| (A,B) ∈ C
2
},
ou encore que l’ensemble de ses solutions à valeurs réelles est
{x ∈ R → Ce
2x cos(3x) + De
2x sin(3x) | (C,D) ∈ R
2
}.
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Partie 1 • Première période
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