Dans certains cas simples, nous savons sous quelle forme chercher les solutions. Par
exemple, lorsque le second membre s’écrit sous la forme P(x)e αx , où P est un polynôme et α un nombre complexe, on cherche une solution sous la forme Q(x)e αx ,
où Q est un polynôme. Lorsque α n’est pas racine de l’équation caractéristique, on
peut chercher Q de même degré que P ; si α en est racine simple, augmenter le
degré de 1 et, s’il est racine double, l’augmenter de 2.
• À la fin de ces deux étapes, on connaît toutes les solutions de l’équation différentielle : ce sont exactement les fonctions qui peuvent s’écrire comme somme de la
solution particulière et d’une solution de l’équation homogène.
Exercice 3.3 : Équation du second ordre : second membre exponentiel
Déterminer l’ensemble des solutions à valeurs réelles de l’équation différentielle
y
− 3y
+ 2y = (6x − 5)e
−x
.
• Cherchons, tout d’abord, les solutions de l’équation homogène associée
y
− 3y
+ 2y = 0.
L’équation caractéristique de cette équation est r 2 − 3r + 2 = 0, dont les racines
sont 1 et 2.
On en déduit que l’ensemble des solutions de l’équation homogène est
{x ∈ R → Ae
x
+ Be
2x
| A,B ∈ R}.
• Déterminons, à présent, une solution particulière de l’équation avec second
membre.
Nous savons que lorsque le second membre de l’équation est de la forme P(x)e αx ,
où P est un polynôme et α un nombre complexe différent des racines du polynôme
caractéristique, on peut trouver une solution de la forme Q(x)e αx , où Q est un polynôme de même degré que P.
Par conséquent, nous allons chercher une solution sous la forme
f : x ∈ R → (ax + b)e
−x
,
avec (a,b) ∈ R 2 .
Un simple calcul montre que, quel que soit x ∈ R, on a pour tout réel x :
f (x) = (−ax + a − b)e −x
f (x) = (ax + b − 2a)e −x
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Chapitre 3 • Équations différentielles
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