dans l’expression de la dérivée, il faut donc impérativement se poser la question de
savoir qui est la variable et qui est une constante.
On a d’une part, pour tout réel x, g (x) = f (x + u) , soit g (0) = f (u).
D’autre part, comme g(x) = f (x) f (u) pour tout réel x, on a également la
relation g (x) = f (x) f (u), d’où g (0) = f (0) f (u).
2. Les relations précédentes étant vraies pour tout u et tout x, on peut choisir une
valeur particulière pour l’un d’eux afin d’obtenir la relation demandée.
La question précédente montre que, pour tout réel u, f (u) = f (0) f (u).
En posant a = f (0) on a donc montré que f = a f.
3. Il existe donc un réel λ tel que, pour tout réel x, f (x) = λe ax . Il reste à déterminer λ. Pour cela, il suffit de calculer f (0), ce que l’on peut faire en utilisant l’équation fonctionnelle vérifiée par f. Autrement dit, nous allons déterminer une condition initiale : connaître la valeur en un point d’une solution d’une équation différentielle linéaire du premier ordre permet de déterminer entièrement cette solution.
D’après le cours il existe un réel λ tel que :
pour tout x ∈ R, f (x) = λ e
ax
.
D’une part, on a f (0) = λ.
D’autre part, f (0) = f (0 + 0) = f (0) 2 , donc f (0) = 0 ou 1, i.e.
λ ∈ {0,1}.
Si λ était nul, f serait identiquement nulle, ce qui est exclu par hypothèse.
On a donc λ = 1 d’où :
pour tout réel x, f (x) = e
ax
.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES DU SECOND ORDRE À
COEFFICIENTS CONSTANTS
La méthode pour résoudre une équation différentielle linéaire du second ordre à
coefficients constants est systématique.
• Dans un premier temps, on résout l’équation homogène associée. Cette première
partie peut être traitée directement à l’aide des théorèmes du cours en utilisant
l’équation caractéristique.
• Dans un second temps, on cherche une solution particulière de l’équation avec
second membre.
52
Partie 1 • Première période
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savoir qui est la variable et qui est une constante.
On a d’une part, pour tout réel x, g (x) = f (x + u) , soit g (0) = f (u).
D’autre part, comme g(x) = f (x) f (u) pour tout réel x, on a également la
relation g (x) = f (x) f (u), d’où g (0) = f (0) f (u).
2. Les relations précédentes étant vraies pour tout u et tout x, on peut choisir une
valeur particulière pour l’un d’eux afin d’obtenir la relation demandée.
La question précédente montre que, pour tout réel u, f (u) = f (0) f (u).
En posant a = f (0) on a donc montré que f = a f.
3. Il existe donc un réel λ tel que, pour tout réel x, f (x) = λe ax . Il reste à déterminer λ. Pour cela, il suffit de calculer f (0), ce que l’on peut faire en utilisant l’équation fonctionnelle vérifiée par f. Autrement dit, nous allons déterminer une condition initiale : connaître la valeur en un point d’une solution d’une équation différentielle linéaire du premier ordre permet de déterminer entièrement cette solution.
D’après le cours il existe un réel λ tel que :
pour tout x ∈ R, f (x) = λ e
ax
.
D’une part, on a f (0) = λ.
D’autre part, f (0) = f (0 + 0) = f (0) 2 , donc f (0) = 0 ou 1, i.e.
λ ∈ {0,1}.
Si λ était nul, f serait identiquement nulle, ce qui est exclu par hypothèse.
On a donc λ = 1 d’où :
pour tout réel x, f (x) = e
ax
.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES DU SECOND ORDRE À
COEFFICIENTS CONSTANTS
La méthode pour résoudre une équation différentielle linéaire du second ordre à
coefficients constants est systématique.
• Dans un premier temps, on résout l’équation homogène associée. Cette première
partie peut être traitée directement à l’aide des théorèmes du cours en utilisant
l’équation caractéristique.
• Dans un second temps, on cherche une solution particulière de l’équation avec
second membre.
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