La fonction g est solution de l’équation si, et seulement si, on a, quel que soit
x ∈ R :
(1 + x
2
)g
(x) − 2xg(x) = 1 + x
2
soit
(1 + x
2
)(h
(x)(1 + x
2
) + 2x h(x)) − 2x h(x)(1 + x
2
) = 1 + x
2
ou encore, les termes en h(x) se simplifiant (ce qui est toujours le cas en appliquant
cette méthode) :
h
(x) =
1
1 + x 2 .
La fonction h = Arctan vérifie cette dernière égalité.
On en déduit que la fonction
x ∈ R → Arctan(x)(1 + x
2
)
est une solution particulière de l’équation différentielle avec second membre.
• Toutes les solutions s’obtiennent à partir de cette dernière en ajoutant une solution
de l’équation différentielle homogène associée. Finalement, l’ensemble des solutions de l’équation est
x ∈ R → (Arctan(x) + C) (1 + x
2
)
C ∈ R
.
Exercice 3.2 : Équation fonctionnelle de l’exponentielle
Soit f une application dérivable de R dans lui-même, non nulle, telle que, pour
tous réels x et y, f (x + y) = f (x) f (y).
1. Fixons un réel u et soit g : x → f (x + u). Calculer de deux façons différentes
g (0).
2. En déduire qu’il existe un réel a tel que la fonction f vérifie f = a f.
3. Montrer qu’on a alors : pour tout réel x, f (x) = e ax .
1. u est ici un réel fixé, autrement dit une constante ; f (u) est donc également une
constante. C’est ainsi que la dérivée de la fonction x → f (x) f (u) est
x → f (x) f (u) .
Pour ne pas commettre d’erreur grossière, comme par exemple écrire
f (x) f (u) + f (x) f (u)
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 3 • Équations différentielles
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