Cette équation n’est pas tout à fait de la forme du cours : il y a une fonction en facteur du terme y . On se ramène à une équation de la forme souhaitée en divisant par
1 + x 2 après avoir bien sûr vérifié que cette division était licite.
• Intéressons-nous, tout d’abord, à l’équation homogène associée :
(1 + x
2
) y
− 2x y = 0.
Puisque la fonction x → 1 + x 2 ne s’annule pas sur R, cette dernière équation se
ramène à
y
−
2x
1 + x 2 y = 0.
Nous connaissons toutes les solutions d’une telle équation différentielle : ce sont les
fonctions de la forme
x ∈ R → C e
F(x)
où C désigne un nombre réel et F une primitive de la fonction
f : x ∈ R → 2x/(1 + x
2
).
Il nous reste à trouver une primitive de la fonction f.
Cette dernière s’écrit sous la forme u /u et admet donc une primitive de la forme
ln ◦ |u|.
Aussi pouvons-nous choisir pour F la fonction
x ∈ R → ln(1 + x
2
).
Comme e ln(1+x 2 ) = 1 + x 2 on obtient pour l’ensemble des solutions de l’équation
homogène :
x ∈ R → C (1 + x
2
)
C ∈ R
.
• Exhibons, à présent, une solution particulière de l’équation différentielle avec
second membre.
Nous la chercherons en utilisant la méthode de la variation de la constante, donc
sous la forme
g : x ∈ R → h(x)(1 + x
2
)
où h est une fonction dérivable inconnue.
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Partie 1 • Première période
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