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© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES DU PREMIER ORDRE
La méthode pour résoudre complètement une équation différentielle linéaire du premier ordre est toujours la même.
• Dans un premier temps, on résout l’équation homogène associée, c’est-à-dire
l’équation dont le premier membre est identique et le second membre est égal à 0.
Cette première partie peut être traitée directement à l’aide des théorèmes du
cours : si l’équation homogène est de la forme
y
− a(x)y = 0,
l’ensemble de ses solutions est l’ensemble des fonctions de la forme x → Ce A(x) ,
où la fonction A est une primitive de a et C est une constante.
• Dans un second temps, on cherche une solution particulière de l’équation avec
second membre.
Une façon de résoudre ce problème consiste à utiliser la méthode dite de variation
de la constante : on cherche des solutions sous la forme
x → f (x)e
A(x)
,
où f désigne une fonction inconnue (c’est la constante qui varie). En réinjectant
cette solution dans l’équation, on obtient f , d’où f par un calcul de primitive.
• À la fin de ces deux étapes, on connaît toutes les solutions de l’équation différentielle : ce sont exactement les fonctions qui peuvent s’écrire comme somme de la
solution particulière et d’une solution de l’équation homogène.
Exercice 3.1 : Équation du premier ordre et variation de la constante
Déterminer l’ensemble des solutions à valeurs réelles de l’équation différentielle
(1 + x
2
) y
− 2x y = 1 + x
2
.
Équations
différentielles
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ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES DU PREMIER ORDRE
La méthode pour résoudre complètement une équation différentielle linéaire du premier ordre est toujours la même.
• Dans un premier temps, on résout l’équation homogène associée, c’est-à-dire
l’équation dont le premier membre est identique et le second membre est égal à 0.
Cette première partie peut être traitée directement à l’aide des théorèmes du
cours : si l’équation homogène est de la forme
y
− a(x)y = 0,
l’ensemble de ses solutions est l’ensemble des fonctions de la forme x → Ce A(x) ,
où la fonction A est une primitive de a et C est une constante.
• Dans un second temps, on cherche une solution particulière de l’équation avec
second membre.
Une façon de résoudre ce problème consiste à utiliser la méthode dite de variation
de la constante : on cherche des solutions sous la forme
x → f (x)e
A(x)
,
où f désigne une fonction inconnue (c’est la constante qui varie). En réinjectant
cette solution dans l’équation, on obtient f , d’où f par un calcul de primitive.
• À la fin de ces deux étapes, on connaît toutes les solutions de l’équation différentielle : ce sont exactement les fonctions qui peuvent s’écrire comme somme de la
solution particulière et d’une solution de l’équation homogène.
Exercice 3.1 : Équation du premier ordre et variation de la constante
Déterminer l’ensemble des solutions à valeurs réelles de l’équation différentielle
(1 + x
2
) y
− 2x y = 1 + x
2
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Équations
différentielles
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