3. Pour faire apparaître u 2 et v 2 , il suffit de calculer (u + v) 2 .
Soit (u,v) une solution de ce système.
On a
(u + v)
2
= u
2
+ 2uv + v
2
d’où, comme u + v = 4 et u 2 + v 2 = 2 :
uv = 7.
Les inconnues u et v sont donc les racines de z 2 − 4z + 7, dont le discriminant est −12.
Ses racines sont donc 2 ± i
√
3 d’où les solutions éventuelles :
(u,v) = (2 − i
√
3,2 + i
√
3) et (u,v) = (2 + i
√
3,2 − i
√
3).
De même, il est facile de vérifier qu’elles conviennent bien.
Exercice 2.7 : Méthode de Cardan
On considère deux nombres complexes non nuls p et q et l’équation (E) d’inconnue z ∈ C :
(E) z
3
+ pz + q = 0.
On considère également l’équation (R) d’inconnue Z ∈ C :
(R) Z
2
+ q Z − p
3
/27 = 0.
Soient U et V les racines complexes de (R). Soit u ∈ C tel que u 3 = U .
1. Montrer que u = / 0. On pose alors v = −p/(3u) .
2. Calculer u 3 v 3 ; en déduire que v 3 = V .
3. En déduire la valeur de u 3 + v 3 .
4. Montrer que u + v est solution de (E).
5. Montrer que ju + j 2 v et j 2 u + jv (avec j = e 2iπ/3 ) sont aussi solutions
de (E).
6. Application : on prend p = q = −1. Calculer U, V, puis u, v et enfin la valeur
exacte de la racine réelle de z 3 − z − 1.
7. Application : comme précédemment avec p = −3 et q = 1.
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Chapitre 2 • Nombres complexes
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