1. Si u = 0, U = 0 et il suffit de remplacer dans (R) pour obtenir une contradiction.
Si u = 0, U = u 3 = 0 et 0 serait racine de (R) donc le terme constant
p 3 /27 serait nul, ce qui contredit p = / 0. On a donc u = / 0.
Ceci permet de donner un sens à v = −p/(3u). D’une manière générale il
convient de vérifier systématiquement, quand un quotient intervient, que le dénominateur n’est pas nul.
2. Le produit uv est connu par définition de v.
Par définition
uv = −
p
3
donc
u
3
v
3
= −
p 3
27
.
Or, d’après le cours, le terme constant de Z 2 + q Z − p 3 /27 est le produit
de ses racines qui sont par définition U et V : on a donc
U V = u
3
v
3
.
Comme u 3 = U on a donc U v 3 = U V. Enfin, U = / 0, d’où v 3 = V .
3. Comme précédemment, la valeur de U + V est donnée par les coefficients de
l’équation (R).
Le coefficient de Z dans Z 2 + q Z − p 3 /27 est, d’après le cours, l’opposé
de la somme de ses racines, i.e.
U + V = −q.
On a donc, d’après le résultat précédent :
u
3
+ v
3
= −q.
4. Il suffit de remplacer z par u + v dans l’équation (E) : tous les calculs nécessaires ont été effectués dans les questions précédentes.
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Partie 1 • Première période
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