Le premier système est traité dans le cours : il s’agit de voir u et v comme les
racines d’une équation du second degré à déterminer. Les deux autres peuvent se
traiter en se ramenant à un système de cette forme : u + v étant donné, il suffit de
manipuler l’autre expression pour faire apparaître uv.
1. Appliquons directement le cours.
D’après le cours, u et v sont les solutions de l’équation du second degré d’inconnue z ∈ C : z 2 − (u + v)z + uv = 0 , i.e. z 2 − 2z − 4 = 0.
Son discriminant est 20 et ses racines sont donc (2 ±
√
20)/2 ;
avec 20 = 2 2 5 on peut les réécrire 1 ±
√
5.
On a donc les deux couples de solutions :
(u,v) = (1 −
√
5,1 +
√
5) et (u,v) = (1 +
√
5,1 −
√
5).
2. Ramenons-nous à un problème du type précédent. Nous avons déjà la valeur de
u + v. D’autre part
1
u
+
1
v
=
u + v
uv
ce qui permet de trouver uv.
On a
4 =
1
u
+
1
v
=
u + v
uv
et
u + v = 4
d’où
uv = 1
Ainsi, u et v sont les racines de z 2 − 4z + 1.
Ce polynôme du second degré a pour discriminant 12 et ses racines sont
2 ±
√
3, d’où les couples de solutions éventuelles :
(u,v) = (2 −
√
3,2 +
√
3) et (u,v) = (2 +
√
3,2 −
√
3).
Nous avons démontré qu’il ne pouvait y avoir d’autres solutions, il reste donc
à vérifier que celles-ci conviennent bien, ce qui est aisé.
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Partie 1 • Première période
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