On a donc :
Arctan(1/2) + Arctan(1/3) ≡ π/4 [2π].
Pour déterminer la valeur exacte de Arctan(1/2) + Arctan(1/3) il reste à
déterminer un intervalle de largeur inférieure à π le contenant.
Or 0 < 1/3 < 1/2 < 1 et Arctan est strictement croissante donc
0 < Arctan(1/2) < Arctan(1/3) < π/4
d’où
0 < Arctan(1/3) + Arctan(1/2) < π/2.
Or le seul élément de ]0,π/2[ qui est congru à π/4 modulo π est π/4 luimême : on a donc Arctan(1/2) + Arctan(1/3) = π/4.
Une autre manière d’aborder ce calcul aurait été de calculer la tangente de la somme
des arctangentes à l’aide d’une formule de trigonométrie : on aurait alors obtenu
tan(Arctan(1/2) + Arctan(1/3)) = 1 = tan(π/4)
d’où
Arctan(1/2) + Arctan(1/3) ≡ π/4 [π].
Autrement dit, de toutes façons, nous n’aurions pas échappé à l’étude d’encadrements pour éliminer le « modulo ».
Ce calcul aurait aussi pu être effectué avec la formule de l’exercice 1.4 ; cependant,
elle est hors-programme.
La manipulation simultanée d’arctangente et d’arguments de nombres complexes
sera à nouveau rencontrée en Physique (filtres et fonctions de transfert).
Exercice 2.6 : Systèmes non linéaires
1. Résoudre le système, d’inconnue (u,v) ∈ C 2 :
u + v =
2
uv = −4
2. Résoudre le système, d’inconnue (u,v) ∈ C 2 :
u + v = 4
1/u + 1/v = 4
3. Résoudre le système, d’inconnue (u,v) ∈ C 2 :
u + v = 4
u 2 + v 2 = 2
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 2 • Nombres complexes
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