1. Commençons par utiliser la relation entre la forme trigonométrique et la forme
algébrique de a + i afin de faire apparaître son argument.
Par définition, a + i = |a + i|(cos(ϕ) + isin(ϕ)) , donc
tan(ϕ) =
Im(a + i)
Re(a + i)
=
1
a
.
On a donc ϕ = Arctan(1/a) + kπ pour un certain entier relatif k.
Par définition de l’arctangente, l’égalité Arctan(x) = θ signifie tan(θ) = x et
θ ∈ ]−π/2,π/2[ .
D’autre part, tan(θ) = tan(θ
) si, et seulement si, θ ≡ θ [π].
Ainsi, on ne peut dire mieux que ϕ = Arctan(1/a) + kπ : l’entier k n’a a priori
aucune raison d’être nul, comme on le verra dans le cas a < 0.
D’autre part, cos(ϕ) = a/|a + i| > 0 et sin(ϕ) = 1/|a + i| > 0 : ceci
montre que ϕ ∈ ]0,π/2[.
Comme, de plus, Arctan(1/a) ∈ ]0,π/2[ (car a > 0) on a donc k = 0 et :
ϕ = Arctan(1/a).
Dans le cas a < 0, on a toujours ϕ = Arctan(1/a) + kπ pour un certain
k ∈ Z, mais cette fois cos(ϕ) < 0 et sin(ϕ) > 0 : on a donc ϕ ∈ ]π/2,π[.
D’autre part, a étant strictement négatif, Arctan(1/a) ∈ ]−π/2,0[ : on a
donc k = 1 et :
ϕ = Arctan(1/a) + π.
2. Le problème n’est pas de se rendre compte qu’il faut utiliser le résultat précédent
mais d’être conscient que tous les calculs seront faits modulo 2π puisque l’on
manipule des arguments. Ainsi, nous n’aurons pas directement le résultat mais uniquement sa valeur à un multiple de 2π près, encore faudra-t-il l’encadrer pour le
déterminer exactement.
Un calcul simple montre que (2 + i)(3 + i) = 5 + 5i.
En considérant des arguments :
Arg(2 + i) + Arg(3 + i) ≡ Arg(5 + 5i) [2π].
Or, d’après ce qui précède, vu que 2 et 3 sont strictement positifs :
Arg(2 + i) ≡ Arctan(1/2) [2π] et Arg(3 + i) ≡ Arctan(1/3) [2π] ;
enfin, Arg(5 + 5i) ≡ π/4 [2π].
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Partie 1 • Première période
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