Nous avons
cos(5x) = Re(e 5i x)
= Re((e i x ) 5 ).
Or, d’après la formule de Moivre :
(e
i x
)
5
= (cos(x) + i sin(x))
5
donc
(e i x ) 5 = cos 5 (x) + 5 cos 4 (x)i sin(x) + 10 cos 3 (x)(i sin(x)) 2
+10 cos 2 (x)(i sin(x)) 3 + 5 cos(x)(i sin(x)) 4 + (i sin(x)) 5
soit :
(e i x ) 5 = cos 5 (x) + 5 cos 4 (x)sin(x)i − 10 cos 3 (x)sin
2
(x)
−10 cos 2 (x)sin
3
(x)i + 5 cos(x)sin
4
(x) + sin
5
(x)i
et enfin :
(e i x ) 5 = cos 5 (x) − 10 cos 3 (x)sin
2
(x) + 5 cos(x)sin
4
(x)
+(5 cos 4 (x)sin(x) − 10 cos 2 (x)sin
3
(x) + sin
5
(x))i.
On a donc, en considérant la partie réelle :
cos(5x) = cos
5
(x) − 10 cos
3
(x)sin
2
(x) + 5 cos(x)sin
4
(x).
On peut éliminer les puissances paires de sin(x) par la relation
sin
2
(x) + cos 2 (x) = 1 :
cos(5x) = 16 cos
5
(x) − 20 cos
3
(x) + 5 cos(x).
Avec la partie imaginaire on trouve, sans calcul supplémentaire :
sin(5x) = 5 cos
4
(x)sin(x) − 10 cos
2
(x)sin
3
(x) + sin
5
(x).
Exercice 2.5 : Argument et arctangente
1. Soit a ∈ R ∗
+ . Soit ϕ l’argument de a + i pris dans ]−π,π] . Montrer que
ϕ = Arctan(1/a). Que dire si a ∈ R ∗
− ?
2. À l’aide de ce qui précède, calculer Arctan(1/2) + Arctan(1/3) .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 2 • Nombres complexes
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