De même :
cos 4 (x) =
e i x + e −i x
2
4
=
1
16
(e
i x
+ e
−i x
)
4
.
En développant la puissance il vient
(e i x + e −i x ) 4 = ((e i x ) 4 + 4(e i x ) 3 e −i x + 6(e i x ) 2 (e −i x ) 2
+4e i x (e −i x ) 3 + (e −i x ) 4 )
= e 4i x + 4e 2i x + 6 + 4e −2i x + e −4i x
= 2 cos(4x) + 8 cos(2x) + 6.
On a donc enfin :
cos
4
(x) =
1
8
cos(4x) +
1
2
cos(2x) +
3
8
.
Dans ce dernier cas, il est également intéressant d’utiliser les formules de trigonométrie usuelles :
cos
2
(x) =
1
2
(1 + cos(2x))
donc
cos
4
(x) =
1
4
(1 + cos(2x))
2
soit
cos
4
(x) =
1
4
(1 + 2cos(2x) + cos
2
(2x)).
Enfin,
cos
2
(2x) =
1
2
(1 + cos(4x))
ce qui donne à nouveau le résultat.
Cependant, ces manipulations ne sont réalisables aisément que sur des cas assez
particuliers ; pour s’en convaincre, essayez de linéariser la première expression
par les formules de trigonométrie : les calculs deviennent rapidement illisibles.
2. Pour développer ces expressions, nous allons utiliser la formule de Moivre. Il
s’agit en quelque sorte de l’opération inverse de la précédente.
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Partie 1 • Première période
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