Exercice 2.4 : Linéarisation, formule de Moivre
1. Linéariser sin
3
(x) et cos 4 (x).
2. Exprimer cos(5x) sous forme d’une expression polynomiale en cos(x) . De
même, exprimer sin(5x) en fonction de sin(x) et cos(x) .
1. La méthode générale de linéarisation consiste à utiliser les formules d’Euler, puis
à développer les puissances : on regroupe ensuite les exponentielles complexes pour
faire réapparaître des formules d’Euler.
Avec les formules d’Euler on a successivement :
sin
3
(x) =
e i x − e −i x
2i
3
=
1
(2i) 3 (e
i x
− e
−i x
)
3
.
D’après la formule du binôme de Newton :
(e i x − e −i x ) 3 = (e i x ) 3 − 3(e i x ) 2 e −i x + 3e i x (e −i x ) 2 − (e −i x ) 3
= e 3i x − 3e i x + 3e −i x − e −3i x .
Or, toujours d’après les formules d’Euler :
e
3i x
− e
−3i x
= 2isin(3x)
et
e
i x
− e
−i x
= 2isin(x)
donc
(e
i x
− e
−i x
)
3
= 2i(sin(3x) − 3sin(x)).
On a donc :
sin
3
(x) =
1
(2i) 2 (sin(3x) − 3sin(x))
soit
sin
3
(x) =
3
4
sin(x) −
1
4
sin(3x).
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Chapitre 2 • Nombres complexes
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