Son discriminant est −7 et ses racines sont donc
z 1 =
−1 + i
√
7
2
et z 2 =
−1 − i
√
7
2
.
L’une de ces racines est s et l’autre t. Pour déterminer laquelle est effectivement s,
il faut trouver un critère permettant de distinguer ces deux racines.
La différence entre z 1 et z 2 est le signe de leur partie imaginaire : en effet,
Im(z 2 ) < 0 et Im(z 1 ) > 0 . Il reste à évaluer le signe de Im(s) pour savoir si s = z 1
ou s = z 2 . Pour cela, il faudra déterminer les positions relatives des réels de la
forme kπ/7.
On a successivement :
Im(s) = Im(e 2iπ/7 + e 4iπ/7 + e 8iπ/7 )
= sin(2π/7) + sin(4π/7) + sin(8π/7)
= sin(2π/7) + sin(3π/7) − sin(π/7)
car
sin(4π/7) = sin(π − 3π/7)
= sin(3π/7)
et
sin(8π/7) = sin(π + π/7)
= −sin(π/7).
Or
0 < π/7 < 2π/7 < 3π/7 < π/2
donc, la fonction sinus étant strictement croissante sur [0,π/2],
0 < sin(π/7) < sin(2π/7) < sin(3π/7) < 1.
Ainsi,
sin(2π/7) − sin(π/7) > 0
et sin(3π/7) > 0, d’où Im(s) > 0 ; on a donc s = z 1 (d’où t = z 2 ), soit
s =
−1 + i
√
7
2
et t =
−1 − i
√
7
2
.
36
Partie 1 • Première période
9782100547678-Fresl-C2.qxd 5/07/10 9:08 Page 36