Il faut bien lire l’énoncé ! Il demande de calculer s + t et st avant de calculer s
et t ; il est donc incorrect, et probablement difficile, de chercher dès le début à calculer s et t pour en déduire s + t et st.
1. Le nombre z est par définition une racine septième de l’unité, donc z 7 = 1.
De plus, z = / 1, donc 1 + z + z 2 + z 3 + z 4 + z 5 + z 6 = 0. Ce sont les deux seuls résultats du cours relatifs aux racines de l’unité : il faudra donc probablement s’en servir.
On a s + t = z + z 2 + z 3 + z 4 + z 5 + z 6 .
Or 1 + z + · · · + z 6 = 0.
On a donc
s + t = −1.
De même, on a
st = (z + z 2 + z 4 )(z 3 + z 5 + z 6 )
= z 4 + z 5 + z 6 + 3z 7 + z 8 + z 9 + z 10 .
Or z 7 = 1, d’où l’on tire également
z
8
= z, z
9
= z
2 et z
10
= z
3
soit
st = 3 + z + z
2
+ z
3
+ z
4
+ z
5
+ z
6
.
Enfin, d’après ce qui précède, z + z 2 + · · · + z 6 = −1 .
On a donc
st = 2.
2. Il est ici demandé de trouver deux nombres complexes connaissant leur somme
et leur produit. Pour cela, on utilise le résultat suivant du cours : la somme des
racines de l’équation az 2 + bz + c = 0 est −b/a et leur produit c/a.
Les nombres s et t sont les racines complexes de l’équation du second degré
d’inconnue z :
z
2
− (s + t)z + st = 0
autrement dit :
z
2
+ z + 2 = 0.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 2 • Nombres complexes
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