Le même argument que précédemment montre que sin(2π/5) > 0 et donc
sin(2π/5) =
10 + 2
√
5
4
.
Enfin, on a
tan(2π/5) =
sin(2π/5)
cos(2π/5)
=
10 + 2
√
5
√
5 − 1
.
Il s’agit de simplifier cette expression. Pour cela, nous allons élever au carré pour
éliminer la « grande » racine carrée puis multiplier par la « quantité conjuguée » du
dénominateur afin qu’il ne subsiste plus qu’une seule racine carrée, au numérateur.
On a successivement :
tan 2 (2π/5) =
10 + 2
√
5
6 − 2
√
5
=
(10 + 2
√
5)(6 + 2
√
5)
(6 − 2
√
5)(6 + 2
√
5)
=
80 + 32
√
5
16
= 5 + 2
√
5.
Enfin, comme tan(2π/5) > 0, on en déduit
tan(2π/5) =
5 + 2
√
5.
Étant donnée la grande diversité des formules de trigonométrie il existe de nombreuses méthodes donnant ce résultat.
Par exemple, on aurait pu utiliser la relation cos −2 = 1 + tan 2 ; cependant, on
remarque que l’on aurait encore eu à utiliser un argument de signe pour en déduire la valeur demandée.
Exercice 2.3 : Racines septièmes
On pose z = e
2iπ/7 , s = z + z 2 + z 4 et t = z 3 + z 5 + z 6 .
1. Calculer s + t et st.
2. En déduire les valeurs de s et t.
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Partie 1 • Première période
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