3. Commençons par résoudre cette équation pour déterminer z.
Cette équation du second degré a pour discriminant 5 et ses racines sont,
d’après les formules du cours :
z 1 =
−1 +
√
5
2
et z 2 =
−1 −
√
5
2
.
On a donc z = z 1 ou z = z 2 .
Il faut maintenant déterminer si z = z 1 ou z = z 2 . Pour cela, nous allons étudier le
signe de ces quantités.
On remarque que z 2 < 0 < z 1 : il suffit donc de déterminer le signe de z
pour conclure.
D’après la formule d’Euler :
z = ω + ω −1
= e 2iπ/5 + e −2iπ/5
= 2 cos(2π/5).
Or 0 <
2π
5
<
π
2
, donc cos(2π/5) > 0 : on a donc z = z 1 , ce qui donne
cos(2π/5) =
√
5 − 1
4
.
Il reste désormais à utiliser les formules de trigonométrie usuelles pour déterminer
les autres valeurs demandées. Ces formules faisant parfois intervenir des carrés il y
aura à nouveau des questions de signes à étudier.
De la formule
sin
2
(2π/5) + cos
2
(2π/5) = 1
on tire successivement
sin
2
(2π/5) = 1 −
√
5 − 1
4
2
=
10 + 2
√
5
16
d’où
sin(2π/5) = ±
10 + 2
√
5
4
.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 2 • Nombres complexes
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