Exercice 2.2 : cos(2π/5)
On pose ω = e
2iπ/5 .
1. Montrer que 1 + ω + ω 2 + ω 3 + ω 4 = 0.
2. On pose z = ω + ω −1 . Former une équation du second degré vérifiée par z.
3. En déduire les valeurs de cos(2π/5), sin(2π/5) et tan(2π/5) .
1. C’est un résultat de cours!
En développant :
(1 − ω)(1 + ω + ω
2
+ ω
3
+ ω
4
) = 1 − ω
5
= 0
car ω 5 = 1.
Or 1 − ω = / 0 donc 1 + ω + ω 2 + ω 3 + ω 4 = 0.
On aurait aussi pu remarquer que cette quantité est la somme des cinq premiers
termes d’une suite géométrique de premier terme 1 et de raison ω = / 1, d’où :
1 + ω + ω
2
+ ω
3
+ ω
4
=
1 − ω 5
1 − ω
= 0
car ω 5 = 1.
Cependant, quelle que soit la rédaction choisie, l’hypothèse ω = / 1 est essentielle
pour pouvoir diviser par 1 − ω.
2. Il s’agit de faire apparaître une relation entre z et z 2 . On a z = ω + ω −1 et
z 2 = ω 2 + 2 + ω −2 : il nous faut donc faire apparaître une relation entre les ω k , k
allant de −2 à 2, à partir de la première question qui est une relation entre les ω k , k
allant de 0 à 4. Pour cela, il suffit de diviser le résultat de la première question par
ω 2 .
Comme ω 2 = / 0 on déduit de la relation précédente :
ω
−2
+ ω
−1
+ 1 + ω + ω
2
= 0.
De plus,
z = ω + ω
−1 et z
2
= ω
2
+ 2 + ω
−2
d’où :
z
2
+ z − 1 = 0.
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Partie 1 • Première période
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