En factorisant :
e i(n+1)x − 1
e i x − 1
=
e i(n+1)x/2
e i x/2
e i(n+1)x/2 − e −i(n+1)x/2
e i x/2 − e −i x/2
= e
inx/2 sin((n + 1)x/2)
sin(x/2)
.
Enfin, la somme cherchée est la partie réelle de cette expression, soit
n
k=0
cos(kx) = cos(nx/2)
sin((n + 1)x/2)
sin(x/2)
.
2. Nous pouvons débuter de manière analogue en faisant apparaître des parties
réelles d’exponentielles complexes. Cette fois-ci, la présence des coefficients binomiaux nous mènera à une identité remarquable : le binôme de Newton.
De manière analogue :
n
k=0
n
k
cos(kx) =
n
k=0
n
k
Re(e
ikx
)
= Re
n
k=0
n
k
(e
i x
)
k
.
Or, d’après la formule du binôme de Newton :
n
k=0
n
k
(e
i x
)
k
= (1 + e
i x
)
n
.
En factorisant encore une fois l’argument moitié :
(1 + e i x ) n = (e i x/2 (e i x/2 + e −i x/2 )) n
=
e inx/2 2 n cos n (x/2).
Enfin, en prenant la partie réelle :
n
k=0
n
k
cos(kx) = 2
n cos(nx/2)cos
n
(x/2).
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 2 • Nombres complexes
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