Il y a deux cas à distinguer selon que la raison est égale ou non à 1. En effet, la
formule
n
k=0
q
k
=
1 − q n+1
1 − q
n’est valable que si q = / 1, et pour cause : le second membre n’a pas de sens pour
q = 1 !
Ici, la raison est e i x et est donc égale à 1 si, et seulement si, x est un multiple de 2π,
ce qui nous donne la condition pour distinguer les deux cas.
Distinguons deux cas :
• si e i x = 1, i.e. x est de la forme 2mπ avec m ∈ Z : tous les termes de la
somme valent 1 d’où
n
k=0
cos(kx) = n + 1.
• si e i x = / 1, on a alors d’après la formule donnant la somme des termes
d’une suite géométrique de raison différente de 1 :
n
k=0
e
ikx
=
(e i x ) n+1 − 1
e i x − 1
=
e i(n+1)x − 1
e i x − 1
.
Pour simplifier un quotient de nombres complexes une méthode générale est de
multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Cependant, quand les nombres complexes qui interviennent sont des exponentielles,
on peut essayer une autre méthode bien plus efficace : la méthode de l’argument
moitié.
Expliquons-la brièvement : dans une expression de la forme 1 + e iθ , on factorise
e iθ/2 et il vient
1 + e iθ = e iθ/2 (e −iθ/2 + e iθ/2 )
= 2e iθ/2 cos(θ/2).
D’une manière générale, étant donné deux complexes a et b, il peut être intéressant
de remarquer que
e
a
+ e
b
= e
(a+b)/2
(e
(a−b)/2
+ e
−(a−b)/2
).
La même factorisation permet de simplifier les différences d’exponentielles.
30
Partie 1 • Première période
9782100547678-Fresl-C2.qxd 5/07/10 9:08 Page 30