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© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Exercice 2.1 : Sommes de cosinus
1. Pour n ∈ N et x ∈ R, calculer
n
k=0
cos(kx).
2. Même question pour
n
k=0
n
k
cos(kx).
Les sommes d’expressions trigonométriques se traitent naturellement avec les
nombres complexes. En effet, pour tout réel θ, cos(θ) = Re(e iθ ) et la partie réelle
d’une somme est la somme des parties réelles. On obtient ainsi une somme d’exponentielles complexes et, le plus souvent, on pourra reconnaître une somme usuelle :
termes d’une suite géométrique ou identité remarquable.
1. En suivant la méthode annoncée nous obtenons ici les termes d’une suite géométrique.
n
k=0
cos(kx) =
n
k=0
Re(e
ikx
)
= Re
n
k=0
e
ikx
.
Or e ikx = (e i x ) k donc la somme
n
k=0
e
ikx
est la somme des n + 1 premiers termes de la suite géométrique de premier
terme 1 et de raison e i x .
Nombres complexes
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© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Exercice 2.1 : Sommes de cosinus
1. Pour n ∈ N et x ∈ R, calculer
n
k=0
cos(kx).
2. Même question pour
n
k=0
n
k
cos(kx).
Les sommes d’expressions trigonométriques se traitent naturellement avec les
nombres complexes. En effet, pour tout réel θ, cos(θ) = Re(e iθ ) et la partie réelle
d’une somme est la somme des parties réelles. On obtient ainsi une somme d’exponentielles complexes et, le plus souvent, on pourra reconnaître une somme usuelle :
termes d’une suite géométrique ou identité remarquable.
1. En suivant la méthode annoncée nous obtenons ici les termes d’une suite géométrique.
n
k=0
cos(kx) =
n
k=0
Re(e
ikx
)
= Re
n
k=0
e
ikx
.
Or e ikx = (e i x ) k donc la somme
n
k=0
e
ikx
est la somme des n + 1 premiers termes de la suite géométrique de premier
terme 1 et de raison e i x .
Nombres complexes
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