Posons
Q 2 = X
2
− −X
2
,P 1 P 1 − −X
2
,P 0 P 0 = X
2
−
1
3
.
Nous avons
Q 2 2 = =X
2
2
+
1
3
2
1
2
− 2
1
3
X
2
,1
=
2
5
+
2
9
−
4
9
=
8
45
.
Par conséquent, nous avons
P 2 =
Q 2
Q 2
=
3
√
5
2
√
2
X
2
−
1
3
=
√
10
4
3X
2
− 1
.
3. Rappelons comment calculer la distance d’un vecteur à un sous-espace. Soient
(E,.,.) un espace euclidien, F un sous-espace vectoriel de E et x un point de E.
Nous noterons p F et p F ⊥ les projections orthogonales sur les espaces F et F ⊥ .
Par définition, la distance de x à F est
d(x,F) = inf{{x − y, y ∈ F}.
Cette distance est atteinte au point y = p F (x) et seulement en ce point. Nous avons donc
d(x,F) 2 = =x − p F (x) 2
= =p F ⊥ (x) 2
= =x 2 − −p F (x) 2 .
La dernière égalité provient du théorème de Pythagore : puisque les vecteurs p F (x)
et p F ⊥ (x) sont orthogonaux, nous avons
x
2
= =p F (x) + p F ⊥ (x)
2
= =p F (x)
2
+ +p F ⊥ (x)
2
.
Il ne nous reste plus, à présent, qu’à appliquer ces formules.
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Partie 3 • Algèbre
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