• Notons p la projection orthogonale sur R 2 [X]. La distance d de X 3 à
R 2 [X] satisfait alors l’égalité
d
2
=
X
3
2 −
p(X
3
)
2 .
• Calculons p(X 3 ). Puisque (P 0 ,P 1 ,P 2 ) est une base orthonormée de
R 2 [X], nous avons
p(X
3
) = =X
3
,P 0 P 0 + +X
3
,P 1 P 1 + +X
3
,P 2 P 2
et donc
p(X
3
)
2 = =X
3
,P 0
2
+ +X
3
,P 1
2
+ +X
3
,P 2
2
.
• Calculons les produits scalaires précédents. Nous avons
X
3
,P 0 =
√
2
2
1
−1
t
3 dt = 0,
car la fonction t → t 3 est impaire et l’intervalle d’intégration symétrique
par rapport à 0.
Pour les mêmes raisons, nous avons
X
3
,P 2 =
√
10
4
1
−1
(3t
5
− t
3
) dt = 0.
Nous avons également
X
3
,P 1 =
√
6
2
1
−1
t
4 dt =
√
6
5
.
• Calculons X 3 2 . Nous avons
X
3
2
= =X
3
,X
3
=
1
−1
t
6 dt =
2
7
.
• Finalement, la distance d de X 3 à R 2 [X] vérifie
d
2
=
2
7
−
6
25
=
8
175
.
On en déduit que
d =
2
√
14
35
.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
391
Chapitre 16 • Espaces euclidiens
9782100547678-Fresl-C16.qxd 5/07/10 9:07 Page 391