Il est ici impératif de mentionner le caractère continu de la fonction t → P(t) 2 . En
effet, il existe des fonctions positives et d’intégrale nulle sur [−1,1] qui ne sont pas
identiquement nulles sur cet intervalle. Un exemple est donné par la fonction
[−1,1] → R
0
→ 1
x = / 0 → 0
Par conséquent, quel que soit t ∈ [−1,1], on a P(t) = 0 . Le polynôme P
possède donc une infinité de racines. On en déduit que le polynôme P est
nul. Par conséquent, l’application .,. est définie positive. On en déduit
finalement que c’est un produit scalaire.
Soulignons que nous ne pouvons pas nous contenter de montrer que la fonction
polynomiale P est nulle sur l’intervalle [−1,1]. Il manque encore un argument pour
montrer que le polynôme P est nul. Considérer ses racines comme nous l’avons fait
permet de conclure.
2. Dans cette question, nous allons appliquer le procédé habituel d’orthonormalisation de Gram-Schmidt. Nous aurons à calculer plusieurs produits scalaires entre
polynômes de degré inférieur ou égal à 2. Nous allons donc commencer par calculer les produits scalaires élémentaires 1,1, 1,X, 1,X 2 , X,X, X,X 2 et
X 2 ,X 2 .
• Calculons, tout d’abord, quelques produits scalaires élémentaires qui nous
seront utiles par la suite. Nous avons
1,1 =
1
−1
1 dt = 2,
1,X =
1
−1
t dt =
t 2
2
1
−1
= 0
(nous pouvions également utiliser le fait que la fonction t → t est impaire
et l’intervalle d’intégration [−1,1] symétrique par rapport à 0),
1,X
2
=
1
−1
t
2 dt =
t 3
3
1
−1
=
2
3
,
X,X =
1
−1
t
2 dt =
2
3
,
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Partie 3 • Algèbre
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