Symétrie
Montrons, à présent, que l’application .,. est symétrique. Quels que soient
P,Q ∈ R[X], nous avons
P,Q =
1
−1
P(t)Q(t)dt
=
1
−1
Q(t)P(t))dt
= =Q,P.
Par conséquent, l’application .,. est symétrique. On en déduit que l’application .,. est également linéaire par rapport à la seconde variable.
Positivité
Le caractère positif de l’application .,. est également facile à démontrer.
Montrons que l’application .,. est positive. Soit P ∈ R[X]. Nous avons
P,P =
1
−1
P(t)
2 dt.
La fonction t → P(t) 2 est positive sur l’intervalle [−1,1]. Par conséquent,
son intégrale sur cet intervalle est encore positive. Autrement dit, nous
avons
P,P 0.
Par conséquent, l’application .,. est positive.
Caractère défini positif
Le caractère défini positif de l’application .,. est plus difficile à démontrer.
Cependant, c’est un résultat classique dont il est impératif de connaître la preuve.
Montrons que l’application .,. est définie positive. Soit P ∈ R[X] tel que
P,P =
1
−1
P(t)
2 dt = 0.
La fonction t → P(t) 2 est positive et continue sur l’intervalle [−1,1].
Puisque son intégrale est nulle, cette fonction doit être identiquement nulle
sur l’intervalle [−1,1].
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Chapitre 16 • Espaces euclidiens
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