Exercice 16.5 : Espace euclidien de polynômes (sauf PTSI)
Définissons une application .,. : R[X] × R[X] → R par la formule
∀P,Q ∈ R[X], P,Q =
1
−1
P(t)Q(t)dt.
1. Montrer que l’application .,. définit un produit scalaire sur R[X].
2. Orthonormaliser la base (1,X,X 2 ) de R 2 [X] par le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt.
3. Calculer la distance de X 3 à R 2 [X].
1. Rappelons qu’un produit scalaire est, par définition, une forme bilinéaire symétrique définie positive. Le caractère bilinéaire et symétrique est aisé à démontrer.
Linéarité par rapport à la première variable
Montrons que l’application .,. est linéaire par rapport à la première
variable. Quels que soient P,Q,R ∈ R[X] , nous avons
P + Q,R =
1
−1
(P(t) + Q(t))R(t)dt
=
1
−1
(P(t)R(t) + Q(t)R(t))dt
=
1
−1
P(t)R(t)dt +
1
−1
Q(t)R(t)dt
= =P,R + +Q,R.
Quel que soient P,R ∈ R[X] et λ ∈ R, nous avons
λP,R =
1
−1
λP(t)R(t)dt
= λ
1
−1
P(t)R(t)dt
= λP,R.
Par conséquent, l’application .,. est linéaire par rapport à la première
variable.
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Partie 3 • Algèbre
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