Montrons que la matrice T est triangulaire supérieure et que ses coefficients
diagonaux sont strictement positifs. La matrice T est la matrice dont les
colonnes sont les vecteurs f 1 ,. . . , f n exprimés dans la base (g 1 ,. . . ,g n ). Soit
i ∈ {1,. . . ,n} et considérons la i-ème colonne de la matrice T. Elle est formée des coordonnées (α i,1 ,. . . ,α i,n ) du vecteur f i dans la base (g 1 ,. . . ,g n ).
Avec ces notations, nous avons
f i =
n
j=1
α i, j g j .
D’après les propriétés du procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt,
nous avons
f i ∈ Vect(g 1 ,. . . ,g i ).
On en déduit que α i,i+1 = . . . = α i,n = 0 . Puisque la base (g 1 ,. . . ,g n ) est
orthonormée, nous avons
α i,i = = f i ,g i .
D’après les propriétés du procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt,
nous avons donc
α i,i > 0.
Finalement, la matrice T s’écrit sous la forme
T =









α 1,1 α 2,1 . . . α n−1,1
α n,1
0 α 2,2 . . . α n−1,2
α n,2
. . .
0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . α n−1,n−1 α n,n−1
0
0 . . .
0
α n,n









.
Elle est bien triangulaire supérieure à coefficients diagonaux strictement
positifs.
Finalement, nous avons bien montré que la matrice M peut s’écrire sous la
forme
M = RT,
où R est une matrice orthogonale et T une matrice triangulaire supérieure
dont les coefficients diagonaux sont strictement positifs.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 16 • Espaces euclidiens
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