Gram-Schmidt une base orthonormée, et donc une matrice orthogonale. Il nous restera à comprendre comment ces deux matrices sont reliées.
Plaçons-nous dans R n muni du produit scalaire usuel. Notons
f 1 ,. . . , f n ∈ R n les colonnes de la matrice M, considérées comme des vecteurs exprimés par leurs coordonnées dans la base canonique. Puisque la
matrice M est inversible, la famille F = ( f 1 ,. . . , f n ) est une base de R n .
Appliquons-lui le procédé d’orthonormalisation de Schmidt. Il existe une
base orthonormée (g 1 ,. . . ,g n ) de R n vérifiant les conditions suivantes :
quel que soit i ∈ {1,. . . ,n}, on a
Vect( f 1 ,. . . , f i ) = Vect(g 1 ,. . . ,g i ) et f i ,g i > 0.
Notons R la matrice dont les colonnes sont les vecteurs g 1 ,. . . ,g n exprimés
dans la base canonique. Puisque la famille G = (g 1 ,. . . ,g n ) est une base
orthonormée, la matrice R est orthogonale.
Il nous reste, à présent, à comprendre comment les matrices M et R sont reliées.
Notons C la base canonique de R n . La matrice M est alors la matrice de passage de la
base C à la base F et la matrice R la matrice de passage de la base C à la base G.
Notons T la matrice de passage de la base G à la base F. Nous avons alors la relation
M = P C,F
= P C,G P G,F
= RT.
Notons C la base canonique de R n . La matrice M est alors la matrice de passage de la base C à la base F et la matrice R la matrice de passage de la
base C à la base G. Nous avons donc
M = RT,
où T désigne la matrice de passage de la base G à la base F.
Il nous reste, à présent, à montrer que la matrice T est triangulaire supérieure et que
ses coefficients diagonaux sont strictement positifs. Souvenons-nous que, dans le
procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt, les bases F et G sont reliées par la
propriété suivante : quel que soit i ∈ {1,. . . ,n}, on a
Vect( f 1 ,. . . , f i ) = Vect(g 1 ,. . . ,g i ) et f i ,g i > 0.
Ce sont ces propriétés que nous allons devoir traduire en termes matriciels.
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Partie 3 • Algèbre
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Plaçons-nous dans R n muni du produit scalaire usuel. Notons
f 1 ,. . . , f n ∈ R n les colonnes de la matrice M, considérées comme des vecteurs exprimés par leurs coordonnées dans la base canonique. Puisque la
matrice M est inversible, la famille F = ( f 1 ,. . . , f n ) est une base de R n .
Appliquons-lui le procédé d’orthonormalisation de Schmidt. Il existe une
base orthonormée (g 1 ,. . . ,g n ) de R n vérifiant les conditions suivantes :
quel que soit i ∈ {1,. . . ,n}, on a
Vect( f 1 ,. . . , f i ) = Vect(g 1 ,. . . ,g i ) et f i ,g i > 0.
Notons R la matrice dont les colonnes sont les vecteurs g 1 ,. . . ,g n exprimés
dans la base canonique. Puisque la famille G = (g 1 ,. . . ,g n ) est une base
orthonormée, la matrice R est orthogonale.
Il nous reste, à présent, à comprendre comment les matrices M et R sont reliées.
Notons C la base canonique de R n . La matrice M est alors la matrice de passage de la
base C à la base F et la matrice R la matrice de passage de la base C à la base G.
Notons T la matrice de passage de la base G à la base F. Nous avons alors la relation
M = P C,F
= P C,G P G,F
= RT.
Notons C la base canonique de R n . La matrice M est alors la matrice de passage de la base C à la base F et la matrice R la matrice de passage de la
base C à la base G. Nous avons donc
M = RT,
où T désigne la matrice de passage de la base G à la base F.
Il nous reste, à présent, à montrer que la matrice T est triangulaire supérieure et que
ses coefficients diagonaux sont strictement positifs. Souvenons-nous que, dans le
procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt, les bases F et G sont reliées par la
propriété suivante : quel que soit i ∈ {1,. . . ,n}, on a
Vect( f 1 ,. . . , f i ) = Vect(g 1 ,. . . ,g i ) et f i ,g i > 0.
Ce sont ces propriétés que nous allons devoir traduire en termes matriciels.
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