La matrice T = T 2 T
−1
1
est triangulaire supérieure à coefficients diagonaux
strictement positifs. Elle est également orthogonale, car la matrice R
−1
2 R 1
est orthogonale. Par conséquent, nous avons
t T = T
−1
.
Or la matrice
t T est triangulaire inférieure et la matrice T −1 est triangulaire
supérieure. On en déduit que la matrice
t T = T −1 est diagonale. Par conséquent, la matrice T est également diagonale. Notons a 1 ,. . . ,a n ∈ R ∗
+ ses
coefficients diagonaux. L’égalité
t T = T −1 se récrit alors
a 1 0 . . . 0
0 a 2 . . . 0
. . .
. . .
. . .
. . .
0 0 . . . a n
=
a
−1
1
0 . . . 0
0 a
−1
2
. . . 0
. . .
. . .
. . .
. . .
0
0 . . . a −1
n
.
Par conséquent, quel que soit i ∈ {1,. . . ,n}, on a a i = a
−1
i
et donc
a i = ±1. Puisque a i > 0, nous avons finalement a i = 1. On en déduit que
T = I n . Puisque T = R
−1
2 R 1 = T 2 T
−1
1 , nous avons finalement
(R 1 ,T 1 ) = (R 2 ,T 2 ).
On en déduit que la décomposition demandée est unique.
Existence
Passons, à présent, à la démonstration de l’existence de la décomposition.
L’indication donnée par l’énoncé semble, a priori, un peu obscure. En effet, le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt s’applique à une base d’un espace vectoriel et aucune ne figure dans l’énoncé. Nous devons donc en faire apparaître. Pour
cela, nous allons interpréter les propriétés des matrices en termes d’algèbre linéaire.
Plaçons-nous dans R n et considérons une famille ( f 1 ,. . . , f n ) de vecteurs. Nous
savons que la matrice dont les colonnes sont les vecteurs f 1 ,. . . , f n exprimés dans
la base canonique est inversible si, et seulement si, la famille ( f 1 ,. . . , f n ) est une
base de R n . De même, nous savons que cette matrice est orthogonale si, et seulement si, la famille ( f 1 ,. . . , f n ) est une base orthonormée de R n , pour le produit scalaire usuel.
Reprenons le raisonnement. De la matrice inversible M, nous allons déduire une
base de R n . De cette base, nous déduirons, par le procédé d’orthonormalisation de
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
383
Chapitre 16 • Espaces euclidiens
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est triangulaire supérieure à coefficients diagonaux
strictement positifs. Elle est également orthogonale, car la matrice R
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2 R 1
est orthogonale. Par conséquent, nous avons
t T = T
−1
.
Or la matrice
t T est triangulaire inférieure et la matrice T −1 est triangulaire
supérieure. On en déduit que la matrice
t T = T −1 est diagonale. Par conséquent, la matrice T est également diagonale. Notons a 1 ,. . . ,a n ∈ R ∗
+ ses
coefficients diagonaux. L’égalité
t T = T −1 se récrit alors
a 1 0 . . . 0
0 a 2 . . . 0
. . .
. . .
. . .
. . .
0 0 . . . a n
=
a
−1
1
0 . . . 0
0 a
−1
2
. . . 0
. . .
. . .
. . .
. . .
0
0 . . . a −1
n
.
Par conséquent, quel que soit i ∈ {1,. . . ,n}, on a a i = a
−1
i
et donc
a i = ±1. Puisque a i > 0, nous avons finalement a i = 1. On en déduit que
T = I n . Puisque T = R
−1
2 R 1 = T 2 T
−1
1 , nous avons finalement
(R 1 ,T 1 ) = (R 2 ,T 2 ).
On en déduit que la décomposition demandée est unique.
Existence
Passons, à présent, à la démonstration de l’existence de la décomposition.
L’indication donnée par l’énoncé semble, a priori, un peu obscure. En effet, le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt s’applique à une base d’un espace vectoriel et aucune ne figure dans l’énoncé. Nous devons donc en faire apparaître. Pour
cela, nous allons interpréter les propriétés des matrices en termes d’algèbre linéaire.
Plaçons-nous dans R n et considérons une famille ( f 1 ,. . . , f n ) de vecteurs. Nous
savons que la matrice dont les colonnes sont les vecteurs f 1 ,. . . , f n exprimés dans
la base canonique est inversible si, et seulement si, la famille ( f 1 ,. . . , f n ) est une
base de R n . De même, nous savons que cette matrice est orthogonale si, et seulement si, la famille ( f 1 ,. . . , f n ) est une base orthonormée de R n , pour le produit scalaire usuel.
Reprenons le raisonnement. De la matrice inversible M, nous allons déduire une
base de R n . De cette base, nous déduirons, par le procédé d’orthonormalisation de
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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