En passant aux matrices dans la base canonique de R 3 , nous obtenons
Mat C (s) = 2 Mat C ( p) − I 3
=
2
9


5 −2 4
−2 8 2
4
2 5

 −


1 0 0
0 1 0
0 0 1


=
1
9


1 −4 8
−4 7 4
8
4 1

 .
Exercice 16.4 : Décomposition RT (sauf PTSI)
Soient n ∈ N ∗ et M ∈ G L n (R). Montrer qu’il existe un unique couple de
matrices (R,T ) ∈ M n (R) 2 tel que les propriétés suivantes soient vérifiées :
– la matrice R est orthogonale ;
– la matrice T est triangulaire supérieure et ses coefficients diagonaux sont strictement positifs ;
– on a l’égalité M = RT .
Indication : on pensera à utiliser le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt.
Cette question en recouvre deux : l’une concernant l’existence, l’autre l’unicité.
Unicité
Comme souvent, l’unicité est plus simple à démontrer et c’est par elle que nous
commencerons. Nous supposerons donc qu’il existe deux décompositions de la
matrice M sous la forme voulue et montrerons qu’elles sont égales.
Supposons qu’il existe deux couples de matrices (R 1 ,T 1 ) et (R 2 ,T 2 ) vérifiant les conditions demandées. En particulier, nous avons
M = R 1 T 1 = R 2 T 2 .
Remarquons qu’une matrice orthogonale est inversible et que son inverse est
une matrice orthogonale. Une matrice triangulaire supérieure à coefficients
diagonaux strictement positifs est également inversible et son inverse est
une matrice du même type. Nous avons donc
R
−1
2 R 1 = T 2 T
−1
1 .
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Partie 3 • Algèbre
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