et
p
0
0
1
=
0
0
1
+
2
3
.
1
3
2
1
−2
=
1
9
4
2
5
.
On en déduit que la matrice de la projection p dans la base canonique de R 3
est
Mat C ( p) =
1
9
5 −2 4
−2 8 2
4
2 5
.
3. On nous demande tout d’abord d’exprimer la réflexion s en fonction de la projection p. C’est un exercice classique pour lequel il suffit de revenir aux définitions.
Soit x ∈ R 3 . Puisque E ⊕ E ⊥ = R 3 , il existe un unique couple
(y,z) ∈ E × E ⊥ tel que l’on ait x = y + z. Par définition de p et de s,
nous avons
p(x) = y et s(x) = y − z.
Remarquons que nous avons également
(Id − p)(x) = y + z − y = z.
On en déduit que
s(x) = y − z = p(x) − (Id − p)(x) = (2 p − Id)(x).
Cette égalité étant vérifiée quel que soit x ∈ R 3 , nous avons finalement
s = 2 p − Id.
Remarquons que l’égalité obtenue est valable dans tout espace euclidien, pour la
réflexion par rapport à n’importe quel sous-espace et la projection orthogonale sur
ce même sous-espace.
Il ne nous reste plus maintenant qu’à appliquer la formule pour déterminer la
matrice de la réflexion s dans la base canonique de R 3 .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
381
Chapitre 16 • Espaces euclidiens
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p
0
0
1
=
0
0
1
+
2
3
.
1
3
2
1
−2
=
1
9
4
2
5
.
On en déduit que la matrice de la projection p dans la base canonique de R 3
est
Mat C ( p) =
1
9
5 −2 4
−2 8 2
4
2 5
.
3. On nous demande tout d’abord d’exprimer la réflexion s en fonction de la projection p. C’est un exercice classique pour lequel il suffit de revenir aux définitions.
Soit x ∈ R 3 . Puisque E ⊕ E ⊥ = R 3 , il existe un unique couple
(y,z) ∈ E × E ⊥ tel que l’on ait x = y + z. Par définition de p et de s,
nous avons
p(x) = y et s(x) = y − z.
Remarquons que nous avons également
(Id − p)(x) = y + z − y = z.
On en déduit que
s(x) = y − z = p(x) − (Id − p)(x) = (2 p − Id)(x).
Cette égalité étant vérifiée quel que soit x ∈ R 3 , nous avons finalement
s = 2 p − Id.
Remarquons que l’égalité obtenue est valable dans tout espace euclidien, pour la
réflexion par rapport à n’importe quel sous-espace et la projection orthogonale sur
ce même sous-espace.
Il ne nous reste plus maintenant qu’à appliquer la formule pour déterminer la
matrice de la réflexion s dans la base canonique de R 3 .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 16 • Espaces euclidiens
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