On pose
w 3 =
1
v 3
v 3 =
1
3
2
1
−2
.
La famille (w 1 ,w 2 ,w 3 ) est la famille obtenue à partir de la famille
(u 1 ,u 2 ,u 3 ) par le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt.
2. La projection p est, par définition, une projection orthogonale sur l’hyperplan E.
Soit x ∈ R 3 . Il existe une méthode simple pour calculer p(x) lorsque l’on connaît
un vecteur orthogonal à cet hyperplan. Dans notre cas, nous avons
Vect(u 1 ,u 2 ) = Vect(w 1 ,w 2 ), d’après les propriétés du procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt et le vecteur w 3 est donc une base de la droite E ⊥ .
Puisque la famille (w 1 ,w 2 ,w 3 ) est une base orthonormée de R 3 , nous avons
x = =x,w 1 w 1 + +x,w 2 w 2 + +x,w 3 w 3 .
Le vecteur x,w 1 w 1 + +x,w 2 w 2 appartient à E et le vecteur x,w 3 w 3 appartient
à E ⊥ . Nous avons donc, par définition de p,
p(x) = =x,w 1 w 1 + +x,w 2 w 2
= w − −x,w 3 w 3 .
Nous voyons donc que pour connaître la projection d’un vecteur sur un hyperplan,
il suffit de connaître sa projection sur la droite orthogonale à cet hyperplan.
D’après les propriétés du procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt,
nous avons E = Vect(u 1 ,u 2 ) = Vect(w 1 ,w 2 ). Par conséquent, la famille
(w 3 ) forme une base orthonormée de la droite E ⊥ orthogonale à cet hyperplan. Quel que soit x ∈ R 3 , nous avons donc
p(x) = x − −x,w 3 w 3 .
En appliquant cette formule aux trois vecteurs de la base canonique de R 3 ,
nous obtenons
p
1
0
0
=
1
0
0
−
2
3
.
1
3
2
1
−2
=
1
9
5
−2
4
,
p
0
1
0
=
0
1
0
−
1
3
.
1
3
2
1
−2
=
1
9
−2
8
2
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Partie 3 • Algèbre
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w 3 =
1
v 3
v 3 =
1
3
2
1
−2
.
La famille (w 1 ,w 2 ,w 3 ) est la famille obtenue à partir de la famille
(u 1 ,u 2 ,u 3 ) par le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt.
2. La projection p est, par définition, une projection orthogonale sur l’hyperplan E.
Soit x ∈ R 3 . Il existe une méthode simple pour calculer p(x) lorsque l’on connaît
un vecteur orthogonal à cet hyperplan. Dans notre cas, nous avons
Vect(u 1 ,u 2 ) = Vect(w 1 ,w 2 ), d’après les propriétés du procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt et le vecteur w 3 est donc une base de la droite E ⊥ .
Puisque la famille (w 1 ,w 2 ,w 3 ) est une base orthonormée de R 3 , nous avons
x = =x,w 1 w 1 + +x,w 2 w 2 + +x,w 3 w 3 .
Le vecteur x,w 1 w 1 + +x,w 2 w 2 appartient à E et le vecteur x,w 3 w 3 appartient
à E ⊥ . Nous avons donc, par définition de p,
p(x) = =x,w 1 w 1 + +x,w 2 w 2
= w − −x,w 3 w 3 .
Nous voyons donc que pour connaître la projection d’un vecteur sur un hyperplan,
il suffit de connaître sa projection sur la droite orthogonale à cet hyperplan.
D’après les propriétés du procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt,
nous avons E = Vect(u 1 ,u 2 ) = Vect(w 1 ,w 2 ). Par conséquent, la famille
(w 3 ) forme une base orthonormée de la droite E ⊥ orthogonale à cet hyperplan. Quel que soit x ∈ R 3 , nous avons donc
p(x) = x − −x,w 3 w 3 .
En appliquant cette formule aux trois vecteurs de la base canonique de R 3 ,
nous obtenons
p
1
0
0
=
1
0
0
−
2
3
.
1
3
2
1
−2
=
1
9
5
−2
4
,
p
0
1
0
=
0
1
0
−
1
3
.
1
3
2
1
−2
=
1
9
−2
8
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Partie 3 • Algèbre
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