w 1 =
1
u 1
u 1 .
Soit i ∈ {1,. . . ,n} et supposons avoir construit des vecteurs (w 1 ,. . . ,w i−1 ) vérifiant
les conditions requises. On pose
v i = u i −
i−1
k=1
u k ,w k w k .
Les trois propriétés suivantes sont alors vérifiées :
– ∀k ∈ {1,. . . ,i − 1} , v i ,w k = 0 ;
– Vect(u 1 ,. . . ,u i ) = Vect(w 1 ,. . . ,w i−1 ,v i ) ;
– u i ,v i > 0.
On pose finalement
w i =
1
v i
v i .
La famille (w 1 ,. . . ,w n ) vérifie alors les propriétés requises.
1. Nous allons appliquer la méthode d’orthonormalisation de Gram-Schmidt à la
famille (u 1 ,u 2 ,u 3 ). Il faut, au préalable, vérifier que cette famille est libre.
Montrons que la famille (u 1 ,u 2 ,u 3 ) est libre. Pour cela, nous allons calculer
son déterminant dans la base canonique C de R 3 . Nous avons
det C (u 1 ,u 2 ,u 3 ) =
1 −1 2
2 4 5
2 1 1
=
1 −1 2
0 6
1
0 3 −3
L 2
L 2 − 2L 1
L 3
L 3 − 2L 1
= −21 = / 0.
Par conséquent, la famille (u 1 ,u 2 ,u 3 ) est libre.
Appliquons, à présent, le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt.
Nous avons
u 1
2
= 1
2
+ 2
2
+ 2
2
= 9.
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Partie 3 • Algèbre
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