D’après la première question, nous avons donc sin(θ) > 0. On en déduit que
θ ∈ ]0,π[ mod 2π.
Par définition, la fonction Arccos est à valeurs dans [0,π]. On en déduit
finalement que
θ = Arccos
4
5
.
Conclusion
L’application c est la composée de la rotation d’axe D = Vect((−2,2,1)) et
d’angle θ = Arccos(4/5) et de la réflexion par rapport au plan D ⊥ .
Exercice 16.3 : Orthonormalisation dans R 3 (sauf PTSI)
Dans les questions qui suivent, l’espace vectoriel R 3 sera muni du produit scalaire usuel que nous noterons .,..
Considérons les vecteurs suivants de R 3 :
u 1 =


1
2
2

 , u 2 =


−1
4
1

 , u 3 =


2
5
1

 .
1. Orthonormaliser la famille (u 1 ,u 2 ,u 3 ) par la méthode de Gram-Schmidt.
2. Notons E = Vect(u 1 ,u 2 ). Soit p la projection orthogonale sur E. Déterminer
la matrice de p dans la base canonique de R 3 .
3. Soit s la réflexion par rapport à E. Exprimer s en fonction de p. Déterminer la
matrice de s dans la base canonique de R 3 .
Dans cet exercice, on cherche à faire des calculs explicites d’orthonormalisation par
la méthode de Gram-Schmidt. Rappelons-en le fonctionnement. On part d’un
espace vectoriel F muni d’un produit scalaire .,. et d’une famille libre
(u 1 ,. . . ,u n ), avec n ∈ N ∗ , de F. Nous savons alors qu’il existe une unique famille
orthonormée (w 1 ,. . . ,w n ) de F vérifiant les deux propriétés suivantes : quel que
soit i ∈ {1,. . . ,n}, on a
– Vect(u 1 ,. . . ,u i ) = Vect(w 1 ,. . . ,w i ) ;
– u i ,w i > 0.
La méthode d’orthonormalisation de Gram-Schmidt décrit une façon de déterminer
la famille (w 1 ,. . . ,w n ), vecteur après vecteur. Pour le premier vecteur, il suffit de
poser
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Chapitre 16 • Espaces euclidiens
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