Conclusion
L’application b est la rotation d’axe D = Vect((0,1,−1)) et d’angle
θ = −Arccos(1/3).
4. Nous allons appliquer le même raisonnement que précédemment à la matrice C.
Orthogonalité
On a
C t C =
1
5


0 3 4
5 0 0
0 −4 3

 1
5


0 5 0
3 0 −4
4 0 3


=


1 0 0
0 1 0
0 0 1

 .
On en déduit que la matrice C est orthogonale.
Déterminant
Calculons, à présent, le déterminant de C. On a
det(C) =
1
5 3
0 3 4
5 0 0
0 −4 3
= −1.
On en déduit que l’isométrie c est la composée d’une rotation et d’une
réflexion par rapport au plan orthogonal à l’axe de cette rotation.
Axe de la rotation
L’axe D de la rotation est donné par
D = Ker(c + Id).
On a
C + I 3 =
1
5


5 3 4
5 5 0
0 −4 8

 .
On en déduit que D = Ker(c + Id) est l’ensemble des vecteurs (x,y,z) de
R 3 vérifiant
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Chapitre 16 • Espaces euclidiens
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