On en déduit que sin(θ) = −2
√
2/3. Nous avons donc sin(θ) < 0, d’où l’on
tire
θ ∈ ]−π,0[ mod 2π.
Par définition, la fonction Arccos est à valeurs dans [0,π]. On en déduit
finalement que
θ = −Arccos
1
3
.
• Seconde méthode
Présentons, à présent, une deuxième méthode basée sur la première question de cet
exercice. Elle nous propose une façon rapide de déterminer le signe de sin(θ).
Posons
u =
√
2
2
(0,1,−1).
Le vecteur
u
= (1,0,0)
n’appartient pas à D. Nous avons
det C (u ,b(u ),u) =
√
2
6
1 1 0
0 2 1
0 2 −1
= −
2
√
2
3
< 0.
D’après la première question, nous avons donc
sin(θ) < 0.
On en déduit que
θ ∈ ]−π,0[ mod 2π.
Par définition, la fonction Arccos est à valeurs dans [0,π[. On en déduit
finalement que
θ = −Arccos
1
3
.
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Partie 3 • Algèbre
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