Posons
u =
√
2
2
(0,1,−1).
Le vecteur
v = (1,0,0)
est orthogonal au vecteur u et de norme 1. C’est donc, en particulier, un vecteur de D ⊥ . Posons
w = u ∧ v =
√
2
2
(0,−1,−1).
Ce vecteur est orthogonal au vecteur u et de norme 1. C’est donc un vecteur
de D ⊥ . Puisque les vecteurs v et w sont orthogonaux et de norme 1, la
famille (u,v) forme une base orthonormée de D ⊥ . En outre, d’après les propriétés du produit vectoriel, la famille B = (u,v,w) forme une base orthonormée directe de R 3 .
Calculons la matrice de la rotation b dans la base B. Notons P la matrice de
passage de la base canonique à la base B. On a
P =
√
2
2


0
√
2 0
1
0 −1
−1 0 −1

 .
Cette matrice est la matrice d’une base orthonormée dans une autre. Elle est
donc orthogonale. On en déduit que
P
−1
=
t P.
D’après la formule de changement de base, la matrice de la rotation b dans
la base B est
Mat B (b) = P
−1 B P =
t P B P.
Tous calculs faits, on obtient
Mat B (b) =






1
0
0
0
1
3
2
√
2
3
0 −
2
√
2
3
1
3






.
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Chapitre 16 • Espaces euclidiens
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