Angle de la rotation
De plus, l’angle θ de cette rotation vérifie
1 + 2 cos(θ) = tr(B) =
5
3
.
On en déduit que cos(θ) = 1/3 et donc que
θ = ±Arccos
1
3
.
Orientation de l’axe de la rotation
Afin de déterminer complètement l’angle, nous devons choisir une orientation de
l’axe D. Cela revient à choisir une base orthonormée de D et à décréter qu’elle est
directe. C’est à nous de prendre cette initiative afin de répondre complètement à
l’exercice.
Orientons l’axe D. Nous choisissons la famille
√
2
2
(0,1,−1)
comme base orthonormée directe de D.
Détermination exacte de l’angle de la rotation
Nous pouvons, à présent, déterminer complètement l’angle θ.
• Première méthode
Une première méthode consiste à revenir à la définition. Si (v,w) est une base
orthonormée de D ⊥ telle que la famille (u,v,w) soit une base orthonormée directe
de R 3 , alors la matrice de r dans la base (u,v,w) a pour expression



1
0
0
0 cos(θ) −sin(θ)
0 sin(θ) cos(θ)


 .
Nous connaissons alors sin(θ), ce qui nous suffit pour déterminer le signe de θ.
Commençons par mettre en œuvre cette première méthode.
372
Partie 3 • Algèbre
9782100547678-Fresl-C16.qxd 5/07/10 9:06 Page 372