et, finalement,
2
√
2x +
√
3y + z = 0
y −
√
3z = 0
.
On en déduit que
D = Vect
(−
√
2,
√
3,1)
.
Angle de la rotation
De plus, l’angle θ de cette rotation vérifie
−1 + 2cos(θ) = tr(A) = 1.
On en déduit que cos(θ) = 1 et donc que
θ = 0 mod 2π.
Conclusion
Par conséquent, la rotation que l’on considère n’est autre que l’identité. On
en déduit que l’isométrie a est la réflexion par rapport au plan D ⊥ .
3. Orthogonalité
Dans un premier temps, nous allons montrer que la matrice B est orthogonale.
On a
B t B =
1
3


1 −2 −2
2 2 −1
2 −1 2

 1
3


1
2
2
−2 2 −1
−2 −1 2


=


1 0 0
0 1 0
0 0 1

 .
On en déduit que la matrice B est orthogonale.
Il ne nous reste plus, à présent, qu’à appliquer la méthode présentée plus haut.
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Partie 3 • Algèbre
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