Déterminant
Calculons le déterminant de A. On a
det(A) =
1
3 3
1
√
6
√
2
√
6
0
−
√
3
√
2 −
√
3
2
=
1
27
3
0
3
√
2
√
6
0
−
√
3
√
2 −
√
3
2
L 1
L 1 +
√
2L 3
= −1.
On en déduit que a est la composée d’une rotation d’axe D et de la réflexion
par rapport au plan D ⊥ .
Axe de la rotation
L’axe D de la rotation est donné par
D = Ker(a + Id).
On a
A + I 3 =
1
3


4
√
6
√
2
√
6
3
−
√
3
√
2 −
√
3
5

 .
On en déduit que D = Ker(a + Id) est l’ensemble des vecteurs (x,y,z)
de R 3 vérifiant

 
 
4x +
√
6y +
√
2z = 0
√
6x + 3y −
√
3z = 0
√
2x −
√
3y + 5z = 0
,
ou encore, en effectuant les opérations L 2
L 2 −
√
6/4L 1 et L 3
L 3 −
√
2/4L 1 ,

    
    
4x +
√
6y +
√
2z = 0
3
2
y −
3
2
√
3z = 0
−
3
2
√
3y +
9
2
z = 0
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Chapitre 16 • Espaces euclidiens
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