Nous allons, à présent, reprendre le raisonnement précédent en remplaçant la rotation r par sa composée s avec la réflexion par rapport à D ⊥ .
Intéressons-nous, à présent, à la composée s de la rotation r et de la
réflexion par rapport à D ⊥ . Dans la base B considérée précédemment, on a
M B (s) =


−1
0
0
0 cos(θ) −sin(θ)
0 sin(θ) cos(θ)

 .
Nous avons donc
det B (u ,s(u ),u) =
α
−α
1
β β cos(θ) − γ sin(θ) 0
γ β sin(θ) + γ cos(θ) 0
= β(β sin(θ) + γ cos(θ)) − γ(β cos(θ) − γ sin(θ))
= (β
2
+ γ 2 )sin(θ).
Par le même raisonnement que précédemment, on en déduit que
det C (u
,s(u
),u) = (β
2
+ γ
2
)sin(θ)
et donc que det C (u ,s(u ),u) et sin(θ) ont même signe strict.
2. Orthogonalité
Dans un premier temps, nous allons montrer que la matrice A est orthogonale.
On a
A t A =
1
3


1
√
6
√
2
√
6
0
−
√
3
√
2 −
√
3
2

 1
3


1
√
6
√
2
√
6
0
−
√
3
√
2 −
√
3
2


=


1 0 0
0 1 0
0 0 1

 .
On en déduit que la matrice A est orthogonale.
Appliquons, à présent, la méthode présentée plus haut.
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Partie 3 • Algèbre
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