Nous allons appliquer ces méthodes pour étudier les endomorphismes a, b et c de
l’énoncé.
1. Ce résultat est classique. On peut l’utiliser sans justifier au cours d’un exercice,
mais on nous demande ici de le redémontrer. Pour cela, il suffit de revenir à la définition de la rotation et à calculer la quantité demandée.
Soit (v,w) une base de D ⊥ tel que la famille B = (u,v,w) soit une base
orthonormée directe de R 3 . Dans cette base, on a
M B (r) =


1
0
0
0 cos(θ) −sin(θ)
0 sin(θ) cos(θ)

 .
Nous allons commencer par calculer la quantité det B (u ,r(u ),u) , la base B étant
mieux adaptée au problème que la base C.
Il existe (α,β,γ) ∈ R 3 tel que
u
= αu + βv + γw.
Puisque u /
∈ D, on a (β,γ) = / (0,0). Nous avons alors
det B (u ,r(u ),u) =
α
α
1
β β cos(θ) − γ sin(θ) 0
γ β sin(θ) + γ cos(θ) 0
= β(β sin(θ) + γ cos(θ)) − γ(β cos(θ) − γ sin(θ))
= (β
2
+ γ 2 )sin(θ).
Nous allons, à présent, utiliser la formule de changement de base pour calculer la
quantité demandée.
D’après la formule de changement de base, on a
det C (u
,r(u
),u) = det C (B)det B (u
,r(u
),u).
Puisque la base B est orthonormée et directe, on a det C (B) = 1. On en
déduit que
det C (u
,r(u
),u) = (β
2
+ γ
2
)sin(θ).
Puisque (β,γ) = / (0,0), nous avons β
2
+ γ 2 > 0 et les quantités
det C (u ,r(u ),u) et sin(θ) ont donc même signe strict.
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Chapitre 16 • Espaces euclidiens
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