Notons θ l’angle de la rotation. Nous avons
1 + 2cos(θ) = tr( f ) = tr(M),
ce qui suffit à déterminer l’angle au signe près. Il est impossible d’être plus précis
si l’axe D de la rotation n’est pas orienté.
Supposons, à présent, que la droite D soit orientée. Cela signifie que l’on s’est
donné un vecteur normé u de D tel que la famille (u) forme une base orthonormée
directe de D. Soit (v,w) une base orthonormée du plan D ⊥ de la rotation tel que la
famille B = (u,v,w) soit une base orthonormée directe de R 3 . La matrice de f dans
la base B est alors


1
0
0
0 cos(θ) −sin(θ)
0 sin(θ) cos(θ)

 .
Cette écriture nous permet de déterminer exactement l’angle θ.
Si det(M) = −1, alors l’endomorphisme f est la composée d’une rotation d’axe D
et d’angle θ et de la symétrie orthogonale par rapport à D ⊥ . Cette rotation et cette
réflexion commutent. L’axe D de la rotation est déterminé par
D = Ker( f + Id).
L’angle θ de la rotation vérifie
−1 + 2cos(θ) = tr( f ) = tr(M),
ce qui suffit à déterminer l’angle au signe près.
Un cas particulier est celui de la réflexion. Il correspond au cas où la rotation est
l’identité, autrement dit, au cas où θ = 0 et donc
tr( f ) = tr(M) = −1 + 2cos(0) = 1.
Dans les autres cas, comme précédemment, il est impossible de déterminer exactement l’angle θ si l’axe D n’est pas orienté.
Supposons, à présent, que la droite D soit orientée. Soient (u) une base orthonormée
directe de D et (v,w) une base orthonormée de D ⊥ telles que la famille B = (u,v,w)
soit une base orthonormée directe de R 3 . La matrice de f dans la base B est alors


−1
0
0
0 cos(θ) −sin(θ)
0 sin(θ) cos(θ)

 .
Cette écriture nous permet de déterminer exactement l’angle θ.
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Partie 3 • Algèbre
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