Exercice 16.2 : Matrices orthogonales d’ordre 3
Nous nous plaçons ici dans l’espace vectoriel R 3 muni du produit scalaire usuel
et de l’orientation canonique. Notons C la base canonique de R 3 .
1. Soit r une rotation de R 3 d’angle θ ∈ R et d’axe D orienté par un vecteur
u ∈ D. Soit u ∈ R 3 \ D. Montrer que les quantités sin(θ) et det C (u ,r(u ),u) ont
même signe strict. Qu’en est-il pour la composée s de la rotation r et de la
réflexion par rapport à D ⊥ ?
2. Soit a l’endomorphisme de R 3 dont la matrice dans la base canonique est
A =
1
3


1
√
6
√
2
√
6
0
−
√
3
√
2 −
√
3
2

 .
Décrire géométriquement l’endomorphisme a.
3. Soit b l’endomorphisme de R 3 dont la matrice dans la base canonique est
B =
1
3


1 −2 −2
2 2 −1
2 −1 2

 .
Décrire géométriquement l’endomorphisme b.
4. Soit c l’endomorphisme de R 3 dont la matrice dans la base canonique est
C =
1
5


0 5 0
3 0 −4
4 0 3

 .
Décrire géométriquement l’endomorphisme c.
Nous nous intéressons, dans cet exercice, à des matrices orthogonales d’ordre 3 ou,
ce qui revient au même, à des isométries de R 3 . Leur étude se mène selon un schéma
précis que nous rappelons ici. Soit M ∈ O 3 (R) et notons f l’endomorphisme dont
c’est la matrice dans la base canonique. Dans un premier temps, on calcule le
déterminant de M. On trouve nécessairement 1 ou – 1, mais le signe est important.
Si det(M) = 1, alors l’endomorphisme f est une rotation de R 3 . Son axe D est
déterminé par
D = Ker( f − Id).
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Chapitre 16 • Espaces euclidiens
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