Il semble bien qu’un tel point s’éloigne de l’origine et vérifie p(x) > x. Pour
le démontrer, nous allons appliquer le théorème de Pythagore dans le triangle de
sommets 0,x, p(x) :
p(x)
2
= =x
2
+ +x − p(x)
2
.
Cette égalité nous permettra de conclure.
Supposons, à présent, que, quel que soit x ∈ X, on ait
p(x) x.
Il existe deux sous-espaces vectoriels F et G de E tel que le projecteur p
soit le projecteur sur F parallèlement à G. Supposons, par l’absurde, que le
projecteur p n’est pas orthogonal. Alors les espaces F et G ne sont pas
orthogonaux. Nous pouvons donc choisir un élément x ∈ G ⊥ \ F.
Il existe y ∈ F et z ∈ G tels que x = y + z. Puisque x ∈ G ⊥ , nous avons
x,z = 0 et donc
p(x)
2
= =y
2
= =x
2
+ +z
2
.
Puisque x /
∈ F, nous avons z = / 0, d’où l’on tire z > 0 et donc
p(x)
2
> x
2
.
On aboutit à une contradiction.
Par conséquent, le projecteur p est orthogonal.
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Partie 3 • Algèbre
G Ќ
G
F
x
p(x)
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