et G de E tel que le projecteur p soit le projecteur sur F parallèlement à G. Nous
devons montrer que p est un projecteur orthogonal, autrement dit, que
F⊥G.
Nous allons raisonner par l’absurde et supposer que F et G ne sont pas orthogonaux. Nous cherchons maintenant un élément x de E susceptible de violer l’inégalité p(x) x. L’hypothèse que nous avons faite nous assure que F ⊥ = / G et
que G ⊥ = / F. Nous avons donc quatre types de candidats pour x : les éléments de
F ⊥ \ G, de G \ F ⊥ , de G ⊥ \ F et de F \ G ⊥ .
Nous pouvons éliminer facilement deux de ces types. Si x ∈ G \ F ⊥ , nous avons
p(x) = 0 et donc p(x) x. Si x ∈ F \ G ⊥ , nous avons p(x) = x et donc
p(x) = =x.
Considérons, à présent, un élément x de F ⊥ \ G. Un dessin nous montre que nous
pouvons encore avoir p(x) x.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
363
Chapitre 16 • Espaces euclidiens
F Ќ
G
F
x
p(x)
Il nous reste à considérer les éléments de G ⊥ \ F. Faisons un nouveau dessin.
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devons montrer que p est un projecteur orthogonal, autrement dit, que
F⊥G.
Nous allons raisonner par l’absurde et supposer que F et G ne sont pas orthogonaux. Nous cherchons maintenant un élément x de E susceptible de violer l’inégalité p(x) x. L’hypothèse que nous avons faite nous assure que F ⊥ = / G et
que G ⊥ = / F. Nous avons donc quatre types de candidats pour x : les éléments de
F ⊥ \ G, de G \ F ⊥ , de G ⊥ \ F et de F \ G ⊥ .
Nous pouvons éliminer facilement deux de ces types. Si x ∈ G \ F ⊥ , nous avons
p(x) = 0 et donc p(x) x. Si x ∈ F \ G ⊥ , nous avons p(x) = x et donc
p(x) = =x.
Considérons, à présent, un élément x de F ⊥ \ G. Un dessin nous montre que nous
pouvons encore avoir p(x) x.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 16 • Espaces euclidiens
F Ќ
G
F
x
p(x)
Il nous reste à considérer les éléments de G ⊥ \ F. Faisons un nouveau dessin.
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