Nous avons traduit en termes explicites les informations dont nous disposons, à
savoir le fait que p est un projecteur orthogonal. Cette première étape ne demande
que la connaissance du cours. Nous devons, à présent, démontrer une inégalité entre
p(x) et x. Nous allons donc commencer par calculer ces deux quantités. On a
visiblement p(x) = =y. Il est un peu plus difficile de calculer x = =y + z.
Pour calculer la norme d’une somme, on revient à la définition de la norme comme
racine carrée du carré scalaire : nous avons
y + z
2
= =y + z,y + z.
Nous allons maintenant développer le second membre de cette égalité en utilisant la
bilinéarité du produit scalaire. Nous avons
y + z,y + z = =y,y + +y,z + +z,y + +z,z
= =y 2 + +z 2 + +y,z + +z,y.
Le produit scalaire est, par définition, symétrique. Nous avons donc y,z = =z,y.
On en déduit que
y + z
2
= =y
2
+ +z
2
+ 2y,z.
Cette formule est d’utilisation constante et il est bon de la retenir.
Nous avons
x
2
= =y + z
2
= =y
2
+ +z
2
+ 2y,z.
Or y ∈ F et z ∈ F ⊥ . Nous avons donc y,z = 0 et, ainsi,
x
2
= =y
2
+ +z
2
.
On en déduit que
x
2 y
2
= =p(x)
2
.
Puisque la fontion racine carrée est croissante sur [0,+∞[, on a finalement
x p(x).
Seconde implication
Passons, maintenant, à la démonstration de l’implication réciproque. Commençons
par traduire ce que nous devons démontrer. Il existe deux sous-espaces vectoriels F
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Partie 3 • Algèbre
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