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Exercice 16.1 : Caractérisation des projecteurs orthogonaux (sauf PTSI)
Soit E un espace euclidien dont nous noterons .,. le produit scalaire. Soit p un
projecteur de E. Montrer que p est un projecteur orthogonal si, et seulement si,
quel que soit x ∈ E, on a
p(x) x.
On nous demande ici de démontrer une équivalence. Nous allons démontrer deux
implications.
Première implication
Dans notre cas, l’implication directe est plus simple. En effet, nous partons d’un
projecteur orthogonal. Nous allons écrire sa définition et vérifier ensuite la propriété
demandée.
Supposons, tout d’abord, que p soit un projecteur orthogonal. Par définition,
il existe un sous-espace vectoriel F de E tel que p soit le projecteur sur F
parallèlement à F ⊥ .
Soit x ∈ E. Il existe un unique couple (y,z) ∈ F × F ⊥ tel qu’on ait l’égalité
x = y + z.
D’après la définition de p, nous avons alors
p(x) = y.
Espaces euclidiens
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