Nous avons alors P k (a j ) = 0 si j = / k (car P k possède alors un facteur
(X − a j )) et P k (a k ) = / 0 car
P k (a k ) =
n
j=0
j /
= k
(a k − a j )
est un produit de nombres dont aucun n’est nul.
Les polynômes L k et
1
P k (a k )
P k prennent donc la même valeur en tous les
a j , à savoir 0 si j = / k et 1 si j = k. Autrement dit, ils ont même image par
, qui est injective, donc sont égaux.
On en déduit une expression condensée de L k :
L k =
n
j=0
j /
= k
X − a j
a k − a j
.
3. Notons (λ 1 ,. . . ,λ n+1 ) les coordonnées de P dans la base (L 1 ,. . . ,L n+1 ) : autrement dit, P = λ 1 L 1 + · · · + λ n+1 L n+1 .
Considérons un entier k ∈ {1,. . . ,n + 1} . Nous voulons déterminer λ k . Puisque
nous connaissons l’effet des L j sur les a i , il nous suffira de spécialiser la relation
précédente en les différents a i .
Il existe (λ 1 ,. . . ,λ n+1 ) ∈ K n+1 tel que
P = λ 1 L 1 + · · · + λ n+1 L n+1 .
Soit k ∈ {1,. . . ,n + 1} . Comme L j (a k ) = 0 si j = / k et 1 si j = k l’égalité
précédente devient, en spécialisant en a k : P(a k ) = λ k .
Ainsi,
P =
n
k=0
P(a k )L k .
En utilisant l’expression des L k trouvée ci-dessus on a finalement :
P =
n
k=0


 P(a k )
n
j=0
j /
= k
X − a j
a k − a j


 .
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Partie 3 • Algèbre
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